Si：第i-1点到第i 点的距离(观测值与理论值相差微小，以观测值表示)。

　　α0、αn：附合导线两端的已知方位角。

　　β’i：第i个控制点上的转折角理论值;βi：第i个转折角平差后的观测值。

　　ui：第i点沿线路法线方向的归化改正数，含正负号。正值表示向观测角一侧改正。

　　vi：转折角改正数，vi =β’i -βi;

　　5.1 归化改正原理：

　　已知转折角改正数vi(i=0，1，2…n)和观测边si(i =1，2…n)，在Vi剩=0(Vi剩 为转折角改正数残差;i=0，1，2…n)或S (vi剩^2)=min(最小)的条件下，求各归化改正数ui(i =0，1，2…n)。

　　5.2数学模型的建立：

　　为求得U，下面讨论④式解的情况：

　　考察④式的系数矩阵B的秩有：

　　R(B)<=(n-1)

　　当R(B|U)=R(B),相容方程④有解，且有无穷多解。

　　当R(B|U)≠R(B),矛盾方程④无解。

　　针对以上两种情形,为求得④式的最优解，引入工程数学的“广义逆”(g逆)概念。设B的广义逆矩阵为B▔，最小范数g逆为Bm▔,最小二乘g逆为Bl▔;B的Moore-Penrose广义逆为B 。则

　　(1)当R(B|U)=R(B)

　　U=(1/ρ)Bm▔V ⑤

　　此时，U结果唯一，且满足 ||U||(U的范数)=最小。亦即横向归化改正值的平方和最小。

　　对于等边导线，设S1=S2=…=Sn=S,q=1/S 则④式中的B可写为：

　　可见,等边导线归化改正只有唯一解⑤’,它是⑤的特殊形式,同样满足||U||=最小。此时R(B)=R(B|U)=n-1。

　　此外等边导线具有两个重要规律：即满足两个公式(③和③’)。③’为等边导线所特有，也可用于检验等边导线观测值是否含有粗差。③是所有导线具有的规律，归化改正数的残差向量也符合这一规律，所以③除能检验观测值是否含有粗差外，还可以检验归化改正结果是否正确。

　　(2)当R(B|U) ≠R(B)时,矛盾方程④无解，但可求最优近似解，即最小二乘解(不唯一)，其一个解为

　　U=(1/ρ)Bl▔V ⑥

　　⑥可使方程④残差向量的范数最小，即||ρBU||=最小。也就是附合导线的转折角改正数的残差向量的平方和为最小。

　　综合(1)、(2)两种情况，即无论方程④有解或无解，均可得到最优解，并可统一写为下式：

　　U=(1/ρ)B V ⑦

　　在(1)的情形下，⑦是④的一个最小范数解;在(2)情形下，⑦是④唯一的最小二乘最小范数解。

　　④、⑤、⑥三式或④、⑦二式即为控制基标归化改正的数学模

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